Consigne: Montrer que le terme général d'une série convergente tend vers \(0\)

Limites de termes adjacents

$$\begin{align} S_n&\longrightarrow S\\ \implies S_{n-1}&\longrightarrow S\\ \\ \implies S_n-S_{n-1}=u_n&\longrightarrow S-S=0\end{align}$$

Consigne: Préciser la nature de la série suivante :$$\sum\left(1-\frac1{n^3}\right)^{n^2}$$

Passer à l'exponentielle
$$\left(1-\frac1{n^3}\right)^{n^2}=e^{n^2\ln(1-\frac1{n^3})}$$

En faisant un développement limité, on a : $$n^2\ln\left(1-\frac1{n^3}\right)=n^2\left(\frac{-1}{n^3}\right)(1+\varepsilon(n))=\frac{-1}{n}(1+\varepsilon(n))\sim\frac{-1}{n}$$
Ainsi, $$e^{n^2\ln(1-\frac1{n^3})}=e^{-\frac1n(1+\varepsilon(n))}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^0=1$$
Le terme général ne tend pas vers \(0\), donc la série est divergente

(Puissance (Lien entre puissance et exponentielle), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0))

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\tan^n\left(\frac\pi4+\frac1n\right)$$

En faisant un développement limité, on a : $$\tan^n\left(\frac\pi4+x\right)=\tan\left(\frac\pi4\right)+\tan^\prime\left(\frac\pi4\right) x=1+x(2+\varepsilon(x))$$

Donc $$\tan^n\left(\frac\pi4+\frac1n\right)=e^{n\ln(1+\frac1n(2+\varepsilon(n)))}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^2$$ par croissances comparées
Le terme général de la suite ne tendant par vers \(0\), la série est divergente

(Fonction tangente (Développement limité en 0), Fonction exponentielle)

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum n^\frac1{2-\frac12\cos(\frac1n)}$$

Limite de la puissance
Soit \(u_n=n^\frac1{2-\frac12\cos(\frac1n)}\)
\(\frac1n\longrightarrow0\), donc \(\cos(\frac1n)\longrightarrow1\) et \(2-\frac12\cos(\frac1n)\longrightarrow\frac32\)

Limite du quotient avec la série de Riemann associée
$$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{n^{2-\frac12\cos(\frac1n)}}{n^{3/2}}=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } n^{\frac12-\frac12\cos(\frac1n)}$$

Passage à l'exponentielle
$$=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } e^{(\frac12-\frac12\cos(\frac1n))\ln n}$$

DL
Or, $$\frac12\left(1-\cos\left(\frac1n\right)\right)\ln n=\frac1{h^2}\left(-\frac14+\varepsilon_n\right)\quad\text{ avec }\quad h=\frac1n$$

Conclusion avec la limite du terme général

Donc \(\frac12(1-\cos(\frac1n))\longrightarrow0\) et \(u_n\longrightarrow e^0=1\)
La suite est donc divergente

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{2n\ln n}$$

Majorer en simplifiant la puissance
On a \(\frac{n+3}{2n+1}\lt 1\) à partir d'un certain rang \(n\), donc on a à partir d'un certain rang \(n\) : $$\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{2n\ln n}\leqslant \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{n}$$

De plus, on a : $$\frac{n+3}{2n+1}\sim\frac12$$

La série est donc équivalente à $$\sum\left(\frac12\right)^n$$
C'est une série géométrique convergente, donc la série est convergente

(Série géométrique)

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac1{3^n}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}$$

Simplifier la puissance
Le terme général est égal à : $$\frac1{3^n}e^{n^2\ln(1+\frac1n)}$$

Calcul du DL de \(\ln\) (il faut le faire au moins à l'ordre \(2\))
Ce qui est égal à : $$\frac1{3^n}e^{n-\frac12+\varepsilon_n}$$

Simplifier l'exponentielle
$$=\frac1{3^n}e^ne^{-\frac12+\varepsilon_n}\sim\left(\frac e3\right)^n$$

La série est donc égale à une série géométrique convergente, elle est donc convergente

(Série géométrique)

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{(\ln n)^n}{n!}$$

Initialisation de la règle du quotient de d'Alembert
Si \(u_n=\frac{\ln^nn}{n!}\), alors $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\ln^{n+1}(n+1)}{(n+1)\ln^nn}$$

Rassembler les puissances de \(n\)
$$=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^n$$

Simplification de ce qu'il y a dans la puissance
Or d'après la relation fonctionnelle du logarithme népérien, on a : $$\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\frac{\ln n+\ln(1+\frac1n)}{\ln n}=1+\frac{\ln(1+\frac1n)}{\ln n}$$

DL
Donc $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\left(1+\frac1{n\ln n}(1+\varepsilon_n)\right)^n$$

Après passage à l'exponentielle, on a : $$=\frac{\ln(n+1)}{n+1}e^{n\ln\left(1+\frac1{n\ln n}(1+\varepsilon_n)\right)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\times e^0=0$$
Par croissances comparées
La série est donc convergente d'après le critère du quotient de d'Alembert

(Puissance (Lien entre puissance et exponentielle), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Développement limité en 0), Logarithme népérien - Logarithme naturel (Relation fonctionnelle), Règle du quotient de d’Alembert - Critère de d’Alembert)

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}$$

Multiplier et diviser par le conjugué
On a : $$\begin{align}\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}&=\frac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}\right)\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}\right)}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\\ &=\frac1{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\end{align}$$

Factorisation et équivalence

$$=\frac1{\sqrt{2n}(\sqrt{1+\frac1{2n}}+1)}\sim\frac1{2\sqrt2 n^{1/2}}$$
La série est donc équivalence à \(\frac1{2\sqrt2}\sum\frac1{n^{1/2}}\), avec \(\sum\frac1{n^{1/2}}\) une série de Riemann divergente. Elle est donc divergente

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum e-\left(1+\frac1n\right)^n$$

Passage à l'exponentielle et factorisation
On a : $$e-\left(1+\frac1n\right)^n=e-e^{n\ln(1+\frac1n)}=e\left[1-e^{n\ln(1+\frac1n)-1}\right]$$

Développement limité de l'exponentielle et de \(\ln\)
$$\begin{align}&=e\left[1-n\ln\left(1+\frac1n\right)-\left( n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)^2\left(\frac12+\varepsilon_n\right)\right]\\ &=e\left[\frac1{2n}\left(1+\varepsilon_n\right)\left(1+\varepsilon_n\right)\right]\end{align}$$

Équivalence avec une série de Riemann

On a donc $$e-\left(1+\frac1n\right)^n\sim\frac{e}{2}\frac1n$$
La série est donc équivalente à une série de Riemann divergente, elle est donc divergente

Consigne: Indiquer la nature de la série suivante : $$\sum\sqrt[3]{n^3+2n}-\sqrt{n^2-1}$$

Factorisation
$$\begin{align}\sqrt[3]{n^3+2n}&=n\left(1+\frac2{n^2}\right)^{1/3}\\ \sqrt{n^2-1}&=n\left(1-\frac1{n^2}\right)^{1/2}\end{align}$$

Calcul du DL
$$\begin{align}\sqrt[3]{n^3+2n}&=n\left(1+\frac2{3n^2}+\varepsilon_n\frac1{n^3}\right)\\ \sqrt{n^2-1}&=n-\frac1{2n}+\varepsilon_n\left(\frac1{n^2}\right)\end{align}$$

On a donc : $$\sqrt[3]{n^3+2n}-\sqrt{n^2-1}=\frac43\frac1n+\varepsilon_n\left(\frac1{n^2}\right)\sim\frac1n$$
La série est donc divergente

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\left(\frac1{\operatorname{ch} n}\right)^{n^{5/2}}$$

Passage à l'exponentielle
$$u_n=\left(\frac1{\operatorname{ch} n}\right)^{n^{5/2}}=e^{n^{5/2}\ln(\frac1{\operatorname{ch} n})}$$

DL
Or, $$\ln(\operatorname{ch}^{-1}n)=\ln\left(1-\frac1{n^2}\left(\frac12+\varepsilon_n\right)\right)=-\frac1{2n^2}+\varepsilon_n\frac1{n^2}$$

Calcul du terme général
On a alors : $$n^{5/2}\left(-\frac1{2n^2}\right)(1+\varepsilon_n)=\frac{-n^{1/2}}2(1+\varepsilon_n)$$
Donc $$u_n=e^{\frac{-n^{1/2}}{2}(1+\varepsilon_n)}$$

Majoration
Or, à partir d'un certain rang \(N\), on a :$$\sqrt n\frac{1+\varepsilon_n}2\geqslant\frac{\sqrt n}4\implies e^{\sqrt n(\frac{1+\varepsilon_n}2)}\geqslant e^{\frac{\sqrt n}4}$$

Croissance comparées pour majorer
Et, par croissances comparées, on a à partir d'un certain rang \(n\) : $$\lim_{t\to+\infty}\frac{t^n}{e^t}=0\implies\frac1{e^{\sqrt n/4}}\leqslant\frac M{n^2}$$

Conclusion avec réécriture du terme général

On a donc : $$u_n=e^{ \frac{-n^{1/2}}2(1+\varepsilon_n)}\sim\frac1{e^{-\sqrt n/4}}\leqslant M\frac1{n^2}$$
La série \(M\sum\frac1{n^2}\) étant convergente, la série est convergente

(Cosinus hyperbolique)

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)$$

Valeur particulière de \(p\)
Si \(p=0\), alors on a : $$\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)=\cos\left(\frac\pi2\right)=0$$
Le terme général étant nul, la série est donc convergente pour \(p=0\)

Dans l'autre cas, on transforme en sinus (ce qui est mieux pour les DL)
Si \(p\neq0\), on a : $$\cos\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}\right)=-\sin\left(\frac{\pi n^2}{2(n^2+pn)}-\frac\pi2\right)$$

Factorisation et simplification
$$=\sin\left(\frac{\pi p}{n(2+p/n)}\right)$$

Équivalences \(\to\) conclusion

$$\sim\frac{\pi p}{n(2+p/n)}\sim\frac{\pi p}2\frac1n$$
La série est équivalente à une série de Riemann divergente, elle est donc divergente

Consigne: Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
Étudier la nature de la série $$\sum_n a_n^2$$

Terme général converge vers \(0\)
Puisque \(\sum_na_n\) converge, on a \(a_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)

Définition de la limite
Alors, d'après la définition de la limite, on a : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N,\forall n\geqslant N,\quad 0\lt a_n\leqslant\varepsilon$$
Si on prend \(\varepsilon=1\), on a \(\forall n\geqslant N,a_n\leqslant1\)

Alors $$\sum_n a_n^2\leqslant\sum_na_n\times1$$
Puisque \(\sum_na_n\) converge, la série est convergente

Consigne: Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
Étudier la nature de la série $$\sum_n\frac{a_n}{1+a_n}$$

\((a_n)_n\) étant positive, on a : $$\sum\frac{a_n}{1+a_n}\leqslant\sum a_n$$
La série est donc convergente

Consigne: Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
Étudier la nature de la série $$\sum_na_na_{2n}$$

\((a_{2n})_n\) étant une suite extraite de \((a_n)_n\), elle est également convergente
Alors d'après la définition de la limite, on a à partir d'un certain rang \(N\) : $$a_{2n}\leqslant1\implies a_na_{2n}\leqslant a_n$$
La série est donc convergente

Consigne: Soit \((a_n)_n\) une suite de réels strictement positive telle que \(\sum_na_n\) converge
Étudier la nature de la série $$\sum_n\frac{\sqrt{a_n} }{n}$$

Majoration

On a la majoration : $$ab\leqslant\frac12(a^2+b^2)\implies\sum_n\frac{\sqrt{a_n}}n\leqslant\sum_n\frac12\left( a_n+\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(\sum_n a_n+\sum_n\frac1{n^2}\right)$$
Les deux séries sont convergentes, donc la série \(\sum_n\frac{\sqrt{a_n}}n\) l'est également

Consigne: Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
\(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)
Montrer que si les \((u_n)_n\) sont tous positifs, alors la série \(\sum_{n\geqslant n_0}v_n\) est convergente

\(u_n\geqslant0\implies1+u_n\geqslant1\implies v_n=\ln(1+u_n)\geqslant0\)

Développement limite

$$\ln(1+u_n)\sim u_n$$puisque \(\sum u_n\) converge, alors on a bien \(\sum v_n\) converge

Consigne: Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
On sait que \((u_n)_n\) est positive et décroissante et tend vers \(0\)
Établir la convergence de la série \(\sum u_n^2\) et calculer sa somme

On a \(u_{n+1}=u_n-u_n^2\), donc on a : $$\begin{align} S_m&=u_0^2+u_1^2+\ldots+u^2_m\\ &=u_0\cancel{-u_1+u_1-u_2+\ldots+u_m}-u_{m+1}\\ &=u_0-u_{m+1}\\ &\underset{m\to+\infty}\longrightarrow u_0=a\end{align}$$
La série converge donc vers \(u_0=a\)

Consigne: Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
On sait que \((u_n)_n\) est positive et décroissante et tend vers \(0\) et que \(\sum u_n^2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} a\)
Montrer que la série \(\sum\ln(\frac{u_{n+1}}{u_n})\) diverge
Que vaut \(\displaystyle\lim_{N\to+\infty}\sum^N\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) ?

On a $$\begin{align} S_m&=\ln\left(\frac{u_1}{u_0}\right)+\ln\left(\frac{u_2}{u_1}\right)+\ldots+\ln\left(\frac{u_{m+1}}{u_m}\right)\\ &=\ln (u_1)-\ln (u_0)+\ln(u_2)-\ln(u_1)+\ldots+\ln(u_{m+1})-\ln(u_m)\\ &=-\ln (u_0)+\ln(u_{m+1})\end{align}$$
\(u_{m+1}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), donc \(S_m{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}-\infty\)

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Quotient))

Consigne: Discuter de la convergence de la série \(\sum a_n\), sachant que \(a_n\) est positif et que \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) converge

Admettons que \(a_n\) est majorée
Alors on a \(\frac{a_n}{1+a_n}\leqslant\frac{a_n}{M+1}\)

Puisque \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) est convergente, on a \(\sum\frac{a_n}{1+M}\) convergente, donc \(\sum a_n\) est convergente

Montrer que \((a_n)_n\) est bien majorée
Si \((a_n)_n\) n'est pas majorée, alors \(\exists(a_{\varphi(n)})_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\)
On a donc $$\frac{a_{\varphi(n)}}{1+a_{\varphi(n)}}=\frac1{\frac1{a_{\varphi(n)}}+1}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Or, si \(b_n=\frac{a_n}{1+a_n}\), alors \(b_{\varphi(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\), ce qui est une contradiction car \(\sum\frac{a_n}{1+a_n}\) converge
La série \(\sum a_n\) est donc convergente

Consigne: Pour \(n\geqslant1\), on pose \(u_n=\cfrac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}\)
Montrer que la série \(\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge

Majoration
$$\frac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}=\frac1{e^\sqrt n\sqrt n}\leqslant\frac{C}{n^2}\iff\frac{n^{3/2}}{e^\sqrt n}\leqslant C$$

Croissances comparées pour démontrer la majoration
Or, $$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3/2}}{e^\sqrt x}&=\left\{\begin{array}{}\sqrt x=t\\ x=t^2\\ t\to+\infty\end{array}\right\}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t^3}{e^t}=0\end{align}$$

Donc on a $$\frac{n^{3/2}}{e^\sqrt n}\leqslant C\implies\frac1{e^\sqrt n\sqrt n}\leqslant\frac C{n^2}\qquad\text{CV}$$

Consigne: Étudier la convergence de la série de terme général $$\sum u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n\sqrt n+1}{n}$$

Diviser chaque terme par \((-1)^n\)
Le signe de \(u_n\) dépend de la parité de \(n\)
On factorise par \((-1)^n\) : $$u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$$

Séparation en deux suites
$$=v_n+w_n\quad\text{ avec }\quad v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\quad\text{ et }\quad w_n=\frac1n$$

Convergence de chaque suite
\(\sum v_n\) converge d'après le critère de Leibniz et \(\sum w_n\) diverge
Montrons que \(\sum u_n=\sum v_n+w_n\) diverge

Montrer que la série est divergente par l'absurde en utilisant le fait que \(\sum w_n\) est divergente

Par l'absurde, supposons que \(\sum u_n\) converge
Alors, puisque \(\sum u_n\) converge et \(\sum v_n\) converge, \(\sum u_n-v_n=\sum w_n\) converge
Il y a une contradiction, donc \(\sum u_n\) est divergente

Consigne: Étudier la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}$$

Éjecter \((-1)^n\) pour vérifier si la série respecte le critère de Leibniz
Si \(u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\), alors on a : $$u_n=(-1)^n\frac1{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}$$
\(\sum u_n\) ne respecte donc pas le critère de Leibniz
Soit \(a_n=\frac1{n+(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\)

Factorisation par le terme le plus convergent \(\to\) équivalence
$$u_n=\frac{(-1)^n}{(-1)^n\sqrt{n^3+1}}\left(\frac1{1+\frac{n}{(-1)^n\sqrt{n^3+1}}}\right)\sim\frac1{n^{3/2}}$$
La série est donc convergente

$$\lvert u_n\rvert=\frac1{\sqrt{n^3+1}}\left|\frac1{1+\frac{(-1)^nn}{\sqrt{n^3+1}}}\right|\sim\frac1{n^{3/2}}$$
La série est donc également absolument convergente

Consigne: Étudier la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum\frac1{(-1)^nn^2+n+1}$$

Valeur absolue du terme général
Si \(u_n=\frac1{(-1)^nn^2+n+1}\), alors on a : $$\lvert u_n\rvert=\frac1{\lvert (-1)^nn^2\rvert\left|1+\frac{(-1)^n}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right|}$$

Équivalence avec une série de Riemann \(\to\) convergence

$$\lvert u_n\rvert\sim\frac1{n^2}$$
La série donc absolument convergente, et donc convergente

Consigne: Étudier la nature de la série : $$\sum\frac{\cos n}{n+\cos n}$$

Factorisation par \(n\)
Si \(u_n=\frac{\cos n}{n+\cos n}\), alors on a : $$u_n=\frac{\cos n}{n}\frac1{1+\frac{\cos n}n}$$

Développement limité
$$=\frac{\cos n}n\left(1-\frac{\cos n}n(1+\varepsilon_n)\right)=\underbrace{\frac{\cos n}n}_{v_n}-\underbrace{\frac{\cos^2(n)}{n^2}(1+\varepsilon_n)}_{w_n}$$

On a \(\sum v_n\) convergente et $$w_n\sim\frac{\cos^2(n)}{n^2}\leqslant\frac1{n^2}$$
\(\sum w_n\) est donc également convergente, donc \(\sum u_n\) converge

Consigne: Étudier la nature de la série : $$\sum w_n\quad\text{ avec }\quad w_n=\frac{\cos n}{n^{1/2}+\cos n}$$

Factorisation
On a : $$w_n=\frac{\cos n}{n^{1/2}}\left(\frac1{1+\frac{\cos n}{n^{1/2}}}\right)$$

Développement limité du terme entre parenthèses
(on ne peut pas raisonner avec le théorème des équivalents car la série n'est pas à termes positifs, il faut aller plus loin via un développement limité)
$$=\underbrace{\frac{\cos n}{n^{1/2}}}_{a_n}-\underbrace{\frac{\cos^2(n)}{n}}_{b_n}+\underbrace{\frac{\cos^3(n)}{n^{3/2}}(1+\varepsilon_n)}_{c_n}$$

Étudier la convergence de chaque terme

\(\sum a_n\) converge d'après le théorème d'Abel, et \(\sum c_n\) converge (convergence absolue)
De plus, on a : $$b_n=\frac{\cos^2(n)}{n}=\frac{1+\cos(2n)}{2n}=\frac1{2n}+\frac{\cos(2n)}{2n}$$puisque \(\sum\frac1{2n}\) diverge et \(\sum\frac{\cos(2n)}{2n}\) converge, \(\sum b_n\) diverge
La série est donc divergente

Consigne: Étudier la nature de la série suivante : $$\sum v_n\quad\text{ avec }\quad v_n=\frac{\cos n}{n^{3/4}+\cos n}$$

Factorisation
$$v_n=\frac{\cos n}{n^{3/4}}\times\frac1{1+\frac{\cos n}{n^{3/4}}}$$

On ne peut pas raisonner par équivalence car la série n'est pas à termes positifs, on calcule alors le DL
$$=\frac{\cos n}{n^{3/4}}-\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}+\frac{\cos^3(n)}{n^{9/4}}(1+\varepsilon_n)$$

- \(\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}\sim\frac1{n^{3/2}}\), donc \(\sum\frac{\cos^2(n)}{n^{3/2}}\) converge
- \(\sum\frac{\cos n}{n^{3/4}}\) et \(\sum\frac{\cos^3(n)}{n^{9/4}}\) convergent, donc \(v_n\) converge

Consigne: Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
Montrer que le terme \(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)

\(\sum_{n\geqslant1}u_n\) converge, donc \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=0\), donc d'après la définition de la limite, \(\exists n_0,\forall n\geqslant n_0, u_n\lt \frac12\) donc \(v_n\) est bien définie

(Limite en l’infini)

Consigne: Soit \(\sum_{n\geqslant1} u_n\) une série convergente à termes réels
On pose $$v_n=\ln(1+u_n)$$
\(v_n\) est défini à partir d'un certain rang \(n_0\)
Déterminer la nature de \(\sum_{n\geqslant n_0}v_n\) lorsque \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\)

Développement limité
$$v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n\left(\frac12+\varepsilon_n\right)$$

- \(\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) converge d'après le théorème de la série alternée
- \(\sum\frac1n(\frac12+\varepsilon_n)\) diverge (équivalence avec une série de Riemann)

Donc la série \(\sum v_n\) diverge

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Consigne: Soit \(\sum u_n\) une série convergente
Donner la nature de la série $$\sum u_n^2$$

Puisque \(\sum u_n\) converge, \(u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) et, si \(u_n\gt 0\), on a d'après la définition de la limite $$\exists M\gt 0,0\leqslant u_n\lt M$$
Donc \(\sum u_n^2\leqslant M\sum u_n\) et \(\sum u_n^2\) converge

Si \(u_n\lt 0\), alors on ne peut pas connaître la nature de la série \(\sum u_n^2\) (contre-exemple : \(\sum(-1)^n\))

Consigne: Discuter selon les valeurs de \(\alpha\gt 0\) la convergence simple et absolue de la série suivante : $$\sum u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}$$

Cas absolument convergent
On a : $$\lvert u_n\rvert=\left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}\right|\sim\left|\frac1{n^\alpha}\right|$$
La série est donc absolument convergente (et donc convergente) pour \(\alpha\gt 1\) par équivalence avec une série de Riemann convergente

Pour le reste des cas, factorisation
Pour \(0\lt \alpha\leqslant1\), on a : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\frac1{1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}}$$

Calcul du développement limité
On a $$\frac{(-1)^n}{n^\alpha}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ d'après le théorème des gendarmes, peut donc calculer le développement limité :
$$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}-\frac{1}{n^{2\alpha}}(1+\varepsilon_n)$$

Convergence de la partie la moins compliquée
\(\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\) converge d'après le théorème de la série alternée

Convergence de l'autre partie
\(\sum\frac1{2^{2\alpha}}(1+\varepsilon_n)\) est à termes positifs, elle est donc convergente si \(\alpha\gt \frac12\) et divergente si \(\alpha\leqslant\frac12\) par comparaison avec une série de Riemann

Conclusion

La série \(\sum u_n\) est donc convergente si \(\alpha\gt \frac12\) et divergente sinon. Elle est de plus absolument convergente si \(\alpha\gt 1\)

(Série absolument convergente, Série de Riemann (Convergence), Théorème des équivalents (Séries), Théorème des gendarmes - Théorème de l’encadrement, Fonction inverse (Développement limité en 0), Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Consigne: Établir que la série $$\sum\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$ est convergente

Montrer que la série est absolument convergente en appliquant le théorème d'Alembert

Si \(u_n=\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\), alors on a $$\frac{\lvert u_{n+1}\rvert}{\lvert u_n\rvert}=\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\frac{(2n)!}{x^{2n}}=\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

(Cosinus (Développement limité en 0), Règle du quotient de d’Alembert - Critère de d’Alembert)

Consigne: Justifier la convergence de la série numérique de terme général \(\ln(\frac{n+1}n)-\frac1n\)

DL
$$\ln\left(\frac{n+1}n\right)-\frac1n=\ln\left(1+\frac1n\right)-\frac1n=\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right)-\frac1n$$ avec \(\lvert O(\frac1{n^2})\leqslant\frac C{n^2}\) terme général d'une série convergente
La série est donc absolument convergente

Consigne: Sachant que la série de terme général \(\ln(\frac{n+1}n)-\frac1n\) converge, déduire la convergence de la suite \(\ln(n+1)-S_n\), avec $$S_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$$

Réécriture de la somme pour y faire apparaître les termes de la série
$$x_n=\sum_{n=1}^Na_n=-S_n+\sum^N_{n=1}\ln(n+1)-\ln(n)=-S_n+\ln(N+1)$$

Conclusion

Donc \((x_N)_N\) converge et \(x_N=\ln(N+1)-S_N\) et $$\exists\ell\in{\Bbb R},\qquad\ell=\lim_{N\to+\infty}\ln(N+1)-S_N$$

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{2^n}{2^n+n^2}$$

Termes positifs \(\to\) on peut utiliser les théorèmes
La série est à termes positifs

On factorise : $$u_n=\cancel{\frac{2^n}{2^n}}\frac{1}{1+\frac{n^2}{2^n}}$$

Terme général ne tend pas vers \(0\) \(\to\) divergence

On a \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{n^2}{2^n}=0\), donc \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=1\)
La série est donc divergente

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{a^n}{n^2}\quad\text{ avec }\quad a\in{\Bbb R}$$

Disjonction des cas
On va montrer la convergence "absolue" :
Si \(\lvert a\rvert\gt 1\), \(\frac{\lvert a\rvert^n}{n^2}\longrightarrow+\infty\) donc la série diverge grossièrement

Si \(\lvert a\rvert\leqslant1\), $$\frac{\lvert a\rvert^n}{n^2}\leqslant\frac1{n^2}$$
Comme \(\sum\frac1{n^2}\) converge, on a par comparaison \(\sum u_n\) converge
La série est donc absolument convergente

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\sqrt{\frac{n+1}n}-\sqrt{\frac n{n+1}}$$

Termes positifs \(\to\) on peut appliquer les théorèmes
On a \(\frac{n+1}n\geqslant1\) et \(\frac n{n+1}\leqslant1\), donc la série est à termes positifs

DL \(\to\) équivalence avec Riemann

$$\begin{align}\sqrt{\frac{n+1}n}&=\left(1+\frac1n\right)^{1/2}=1+\frac1{2n}+o\left(\frac1{n^2}\right)\\ \sqrt{\frac n{n+1}}&=\frac1{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}=\left(1+\frac1n\right)^{-1/2}=1-\frac1{2n}+o\left(\frac1{n^2}\right)\end{align}$$
Donc \(u_n=\frac1n+o\left(\frac1{n^2}\right)\sim u_n\)
La série est donc divergente par équivalence avec une série de Riemann divergente

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\frac{(-1)^n}{\ln(\ln(n+2))}$$

Séries alternées

L'application \(x\mapsto\ln(\ln(x+2))\) est croissante
On applique alors le critère des série alternées :
On a \(u_n=(-1)^na_n\) avec \(a_n\) positive, décroissante et tendant vers \(0\)
La série est donc convergente d'après le critère des séries alternées

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\left|\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)\right|$$

Termes positifs \(\to\) on peut utiliser les théorèmes
La série est à termes positifs

On a $$\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)\sim\frac{(-1^n)}n\implies u_n\sim\frac1n$$
La série est donc divergente par équivalence avec une série de Riemann

(Série de Riemann)

Consigne: Discuter de la convergence ou non de $$\sum_{n\geqslant1}u_n\quad\text{ avec }\quad u_n=\sin\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$$

Pas termes positifs \(\to\) on peut pas raisonner par équivalence \(\to\) DL

$$u_n=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n}}_{\text{série alternée CV}}+\underbrace{o\left(\frac1{n^2}\right)}_{\text{terme général d}^\prime\text{une série ACV, donc CV}}$$ la série étant la somme de deux séries convergente, elle est donc convergente

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Consigne: On considère la série de terme général \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
La série \(\sum u_n\) est convergente, mais pas absolument convergente
On note \(\ell=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\), \(\ell\gt 0\)
Soit \(\alpha\gt 0\). La série de terme général \(w_n=\frac{u_0+u_1+\ldots+u_n}{n^\alpha}\) converge-t-elle ?
(on discutera selon les valeurs de \(\alpha\))

Terme général positif \(\to\) on peut appliquer les théorèmes
Le terme général est supérieur à \(0\) pour \(n\) sufisamment grand

On a donc $$\frac{u_0+u_1+\ldots+u_n}{n^\alpha}\sim\frac\ell{n^\alpha}$$
La série est donc convergente pour \(\alpha\gt 1\) par comparaison avec une série de Riemann

(Théorème de comparaison)